Курсовая на тему Алгебраические и трансцендентные числа

Автор: Ольга

Тип работы: Курсовая

Предмет: Высшая математика

Страниц: 23

Год сдачи: 2009

ВУЗ, город: РГУ

Выдержка

Пусть даны два поля P и F, такие, что P – подполе поля F. Определение 1. Число ? называется алгебраическим над полем P, ес-ли ? является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из P. Определение 2. Комплексные числа, являющиеся алгебраическими над по-лем рациональных чисел, называются алгебраическими числами. Пример. – корень многочлена с коэффициентами из поля дей-ствительных чисел: – алгебраическое над полем действительных чисел. Легко заметить, что является алгебраическим и над полем рациональ-ных чисел. Из определения легко заметить, что если ? – корень многочлена , то ? – корень , где g – многочлен над полем P. Определение 3. Пусть P – подполе F, ? – алгебраический над полем P элемент. Тогда нормированный многочлен наименьшей степени, для которого ? является корнем, называется минимальным многочленом элемен-та ?. Символом будем обозначать степень многочлена h. Теорема 1. Пусть ? – алгебраический над полем P элемент, h – мини-мальный для ? многочлен. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) h неприводим над P; 2) если h1 тоже является минимальным многочленом элемента ?, то ; 3) если , для которого ? является корнем ( ), то h|g; 4) если , для которого ? является корнем, k – нормированный мно-гочлен, неприводимый над P, то h=k. Доказательство: 1) Предположим, что h – приводим над P. Тогда , f и g – много-члены над полем P, , , . Так как многочлен h нормированный, то многочлены f и g тоже можно сделать нормиро-ванными. ? – по условию корень многочлена h, то есть . Зна-чит, . Очевидно, что одно из этих чисел или равно нулю. Пусть для определенности . Это утверждение противоречит тому, что h минимальный многочлен для элемента ?. Поэтому h неприводим над полем P.

Содержание

Содержание Введение – 3 Понятие алгебраических чисел – 4 Рациональные приближения алгебраических чисел – 8 Понятие трансцендентных чисел – 15 Трансцендентность числа e – 18 Применение теоремы Лиувилля для нахождения трансцендентных чисел – 22 Заключение – 23 Литература – 24

Литература

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960. 2. Ожигова Е. П. Шарль Эрмит, 1822–1901. Л.: Наука, 1982. 3. Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа. М., 1952.