Введение. Пусть изучается некоторое явление или процесс и требуется установить зависимость между двумя величинами. Например, зависимость силы тока I от напряжения U (при заданном сопротивлении); зависимость скорости звука в воде от её температуры. Возможно, что зависимость между величинами выражается формулой, которая выведена теоретически: например, длина пути, пройденного свободно падающим телом в пустоте , период колебания маятника . Во многих случаях такой формулы нет, зависимость между двумя величинами устанавливается только путём измерений. В результате измерений получаем таблицу: Чтобы получить более ясное представление о законе зависимости, на основании результатов измерений будем стремиться получить формулу, приближённо выражающую эту зависимость. Полученная таким образом формула называется эмпирической формулой. Идея построения эмпирической формулы (по опытным данным) состоит в следующем: подобрать такую функцию достаточно простого вида, чтобы значения этой функции были близки к значениям полученным из опыта. Нахождение эмпирической формулы начинается с построения точечного графика. Из двух измеряемых величин одну будем считать аргументом, другую - функцией. По результатам измерений на плоскости координат строим точки. Рис. 1. Глядя на точечный график, чертим плавную линию (на глаз) так, чтобы точки были близки к ней и располагались по обе стороны от неё. Мы не должны стремиться к тому, чтобы плавная линия проходила через опытные точки, так как результаты измерений приближённые числа. Они содержат погрешность измерения, которая может быть со знаком "+" и "-", т.е. точки могут быть и выше и ниже истинного графика. Далее, рассматривая непрерывный график, мы должны сделать предположение (высказать гипотезу) о том, каков вид функции графиком которой он является. И затем определить значение параметров функции. Обозначим эту функцию . Задача заключается в следующем: найти функцию , заданного вида, которая в точках принимает значения как можно более близкие к значениям . Обозначим , эти значения нам неизвестны, так как сама функция ещё неизвестна. Можно рассматривать совокупность значений и как координаты двух точек n - мерного пространства. И задачу можно сформулировать так: найти функцию заданного вида , чтобы расстояние между точками , было наименьшим. Мы воспользуемся метрикой n - мерного Евклидова пространства, в котором расстояние между точками определяется так: Эта величина должна быть наименьшей, что равносильно тому, что выражение должно быть наименьшим 1. Обобщенный МНК.
Рассмотрим простейший вариант МНК: представление теоретической зависимости в виде линейной комбинации известных, выбранных заранее функций, которые называют базисными: y = b1?1(x) + b2?2(x) + ... + bm?m(x). (1) Здесь b1, b2, ..., bm ? определяемые по МНК коэффициенты, а ?1(x), ?2(x), ..., ?m(x) ? заранее выбранные из теоретических соображений функции (базисные), которые должны быть линейно-независимыми на множестве точек x1, x2, ..., xn. Выберите необходимые базисные функции и добавьте их к модели. Согласно МНК коэффициенты модели (1) находятся из условия: L(b1,b2, ..., bm) = ? (yi ? b1?1(xi) ? b2?2(xi) ? ... ? bm?m(xi))2 ? min. i=1 n (2) Данная функция является квадратичной относительно b1, b2, ..., bm. Вычисляя частные производные и приравнивая их нулю, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно b1, b2, ..., bm: (3) Если базисные функции линейно-независимые, то эта система имеет единственное решение: коэффициенты модели b1, b2, ..., bm. Найдём их и построим график, на котором покажем экспериментальные точки и найденную теоретическую кривую.
Содержание
Введение..2 1. Обобщенный МНК...5 2. Простейший случай двумерной регрессии7 3. Примеры применения МНК...10 Заключение.16 Литература....17
Литература
1. Эконометрика. \Под. ред. И.И.Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2004. 344. 2. www.exponenta.ru